Mga formula at kahulugan

 

Pangunahing kahulugan

Coordinate system. - Pamamaraan upang matukoy ang posisyon at ilipat ang punto o katawan gamit ang mga numero o iba pang mga character.

Coordinate - Ito ay isang kumbinasyon ng mga numero na tumutukoy sa posisyon ng anumang bagay sa isang tuwid, eroplano, ibabaw o sa espasyo. Paano hanapin ang mga coordinate ng punto na sinabi namin sa artikulong ito.

Scalar. - Ito ay isang halaga na ganap na tinutukoy sa anumang sistema ng coordinate na may isang numero o function.

Vector. - Ang direktang segment ng direktang, kung saan ito ay ipinahiwatig kung saan ang punto ay ang simula, at kung saan ay ang katapusan.

Pangunahing kahulugan

Ang vector na may simula sa punto A at ang dulo sa point B ay kinuha upang ipahiwatig bilang → ab. Ang mga vectors ay maaari ding itakda ng mga maliit na latin na titik na may isang arrow o gitling sa itaas ng mga ito, tulad nito: → a.

Produkto ng scalar - Ang operasyon na ito sa dalawang vectors, ang resulta ng kung saan ay isang skalar, iyon ay, isang numero na hindi nakasalalay sa pagpili ng coordinate system.

Ang resulta ng operasyon ay ang bilang. Iyon ay, may pagpaparami, ang vector sa vector ay lumalabas ang numero. Kung ang haba ng mga vectors | → a |, | → B | - Ang mga ito ay mga numero, cosine anggulo - isang numero, pagkatapos ang kanilang trabaho | → a | * | → b | * cos∠ (→ a, → b) ay magiging isang numero din.

Upang maunawaan ang paksa ng artikulong ito, kailangan pa rin nating malaman ang mga tampok Sulok sa pagitan ng mga vectors .

Halika upang sanayin sa SkySmart Children's School. Ang mga mag-aaral ay malutas ang mga kapana-panabik na gawain kasama ang mga makukulay na bayani sa isang interactive na platform, gumuhit kasama ang guro sa isang online board at hindi natatakot sa kontrol ng paaralan.

Isulat ang bata sa isang libreng pambungad na aralin ng matematika at simulan ang tinatangkilik bukas!

Anggulo sa pagitan ng mga vectors

Ang anggulo sa pagitan ng mga vectors ∠ (→ a, → b) ay maaaring kumuha ng mga halaga mula sa 0 ° hanggang 180 ° degrees kasama. Analytically ay maaaring nakasulat sa anyo ng isang double hindi pagkakapantay-pantay: 0 ° = <∠ (→ a; → b) = <180 ° o 0 ° = <∠ (→ a; → b) = <π.

Ang icon ng anggulo ay maaaring tanggalin at isulat lamang: (→ a; → b).

Hayaan ang dalawang vectors ay bibigyan → A → b.

Ipinagpaliban ko ang mga ito mula sa ilang punto tungkol sa espasyo: → oa = → a; → OB = → b. Pagkatapos ang anggulo sa pagitan ng mga vectors ay isang anggulo ∠aob = (→ a, → b).

Anggulo sa pagitan ng mga vectors

Ang anggulo sa pagitan ng mga vectors ay maaaring tuwid, mapurol o matalim. Isaalang-alang ang bawat kaso:

1. Kung ang mga vectors ay co-direct, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 0 °.

Gustung-gusto ka ng mga vectors, at ang mga vectors!

Dahil ang cosine ng isang anggulo ng 0 ° ay katumbas ng isa, pagkatapos ay ang produkto ng scalar ng coiled vectors ay isang produkto ng kanilang mga haba. Kung ang dalawang vectors ay pantay, pagkatapos ay ang isang produkto ng scalar ay tinatawag na scalar square.

2. Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vectors ay 90 °, ang mga naturang vectors ay patayo sa bawat isa.

Mga Solusyon at Sagot:

Dahil ang direktang corner cosine ay 0, pagkatapos ay ang produkto ng scalar ng perpendicular vectors ay 0.

3. Kung ang mga vectors ay nakadirekta sa iba't ibang direksyon, pagkatapos ay ang anggulo sa pagitan ng 180 °.

Nai-post sa pamamagitan ng: Emelin Alexander

Dahil ang cosine ng isang anggulo ng 180 ° ay -1, pagkatapos ay ang produkto ng scalar ng oppositely directed vectors ay katumbas ng negatibong produkto ng kanilang mga haba.

Gayundin, ang mga vectors ay maaaring bumuo ng isang hangal na anggulo. Mukhang ito:

Pinakamataas na matematika para sa mga abnormalidad at hindi lamang >>>.

Mahalaga!

Dahil ang cosine ng isang bobo anggulo ay negatibo, pagkatapos ay ang scalar produkto ng mga vectors na bumubuo ng isang bobo anggulo ay negatibo din.

Scalar Product Vectors.

Ang kahulugan ng isang produkto ng scalar ay maaaring formulated sa dalawang paraan:

Produkto ng scalar Dalawang vectors A at B ang nagreresulta sa isang halaga ng scalar, na katumbas ng kabuuan ng pares ng mga coordinate ng mga vectors A at b.

  1. Geometric interpretation.

    Scalar Work. Ang dalawang vectors A at B ay magiging isang halaga ng scalar na katumbas ng produkto ng mga module ng mga vectors na ito, na pinarami ng cosine ng anggulo sa pagitan nila:

    → A * → B = → | a | * → | b | * Cosα.

    Scalar Work.
  2. Algebraic interpretasyon.

Ano ang mahalaga upang matandaan ang tungkol sa geometriko interpretasyon ng trabaho scalar:

  • Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vectors ay talamak at nonzero vectors, pagkatapos ay ang produkto ng scalar ay positibo, iyon ay, cosα> 0. (Pumunta sa pangunahing pahina)
  • Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vectors ay bobo at ang mga nonzero vectors, pagkatapos ay ang produkto ng scalar ay negatibo, dahil cosα <0. Paano mo mapasalamatan ang may-akda?
  • Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vectors ay tuwid, pagkatapos ay ang produkto ng scalar ay 0 mula noon, iyon ay, cosα = 0. "Lahat ay lumipas!" - Online na tulong sa serbisyo sa mga estudyante

Produkto ng scalar sa mga coordinate

Ang pagkalkula ng produkto ng scalar ay maaaring gawin sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga vectors sa isang naibigay na eroplano o sa espasyo.

Ang produkto ng scalar ng dalawang vectors sa eroplano o sa tatlong-dimensional na espasyo sa hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay ang kabuuan ng mga produkto ng kaukulang mga coordinate ng mga vectors → A at → B.

Iyon ay, para sa mga vectors → a = (palakol, ay), → b = (bx, sa pamamagitan) sa eroplano sa isang hugis-parihaba decartular coordinate system ng formula para sa pagkalkula ng isang produkto ng scalar ay: (→ a, → b) = palakol * BX + AY * BY.

At para sa mga vectors → a = (palakol, ay, az), → b = (bx, sa pamamagitan ng, bz) sa tatlong-dimensional na espasyo, ang produkto ng scalar sa mga coordinate ay ang mga sumusunod: (→ a, → b) = palakol * Bx + ay * sa pamamagitan ng + az * bz.

Pinatutunayan namin ang kahulugan na ito:

  1. Una naming patunayan ang pagkakapantay-pantay Produkto ng scalar sa mga coordinate

    Para sa mga vectors → a = (palakol, ay), → b = (bx, sa pamamagitan) sa eroplano na tinukoy sa hugis-parihaba cartesian coordinate system.

    Ipagpaliban namin mula sa simula ng mga coordinate (point o) vectors → ob = → b = (bx, by) at → oa = → a = (palakol, ay)

    Pagkatapos, → ab = → ob - → oa = → b - → a = (bx - palakol, by - ay)

  2. Isasaalang-alang namin ang mga puntos tungkol sa, at sa mga tops ng Oav triangle. Sa pamamagitan ng cosine theorem ay maaaring nakasulat: Kung ang mga vectors ay kinokontrol

    Dahil:

    Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vectors ay 90 °, ang mga naturang vectors ay patayo sa bawat isa

    Ang huling pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat ito:

    Kung ang mga vectors ay nakadirekta sa iba't ibang direksyon

    At sa unang kahulugan ng produkto ng scalar na mayroon kami

    Gayundin ang mga vectors ay maaaring bumuo ng isang hangal na anggulo

    Mula sa.

    Algebraic interpretation.
  3. Pag-alala sa formula para sa pagkalkula ng haba ng vector ng mga coordinate, makuha namin Anggulo sa pagitan ng mga vectors stupid at non-zero vectors.
  4. Talagang nagpapatunay na ang bisa ng mga katumbas (→ a, → b) = | → a | * | → b | * cos (→ a, → b) = palakol * bx + ay * sa pamamagitan ng palakol * bz para sa mga vectors → A = (palakol, ay, az), → b = (bx, by, bz) na tinukoy sa hugis-parihaba na sistema ng coordinate ng tatlong-dimensional na espasyo.
  5. Ang formula ng produkto ng SCALAR ng mga vectors sa mga coordinate ay nagbibigay-daan sa iyo upang tapusin na ang scalar square ng vector ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng lahat ng mga coordinate nito: sa eroplano (→ A, → A) = AX2 + Ay2 sa Ang Space (→ A, → A) = AX2 + Ay2 + AZ2.

Mga formula ng produkto ng scalar ng mga vectors na ibinigay ng mga coordinate

Formula ng produkto ng scalar ng mga vectors para sa mga flat na gawain

Sa isang patag na gawain, ang produkto ng scalar ng mga vectors a = {ax; Ay} at b = {bx; Sa pamamagitan ng} ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

A * B = AX * BX + AY *

Ang formula ng produkto ng scalar ng mga vectors para sa spatial na mga gawain

Sa spatial na problema, ang produkto ng scalar ng mga vectors a = {ax; Ay; az} at b = {bx; sa pamamagitan ng; Bz} ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

A * b = palakol * bx + ay * sa pamamagitan ng + az * bz

Ang formula ng produkto ng scalar ng n-dimensional na mga vectors

Sa n-dimensional space, ang produkto ng scalar ng vectors a = {A1; A2; ...; AN} at b = {B1; B2; ...; BN} ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

A * B = A1 * B1 + A2 * B2 + ... + An * BN

Mga katangian ng isang piraso ng scalar.

Mga katangian ng isang produkto ng scalar ng mga vectors:

  1. Ang produkto ng scalar ng vector mismo ay laging mas malaki kaysa sa o katumbas ng zero. Bilang isang resulta, ito ay lumiliko out zero kung ang vector ay katumbas ng zero vector. → A * → A> 0 → 0 * → 0 = 0
  2. Ang produkto ng scalar ng vector mismo ay katumbas ng parisukat ng module nito: → A * → A = → || A || 2
  3. Ang operasyon ng produkto ng scalar ay nakikipag-usap, ibig sabihin, tumutugma ito sa transisyonal na batas: → A * → B = → B * → A
  4. Ang operasyon ng scalar multiplikasyon ng pamamahagi, ibig sabihin, tumutugma ito sa batas ng pamamahagi: (→ A + → b) * → C = → A * → C + → B * → c
  5. Fashionable Law para sa Scalar Work: (K * → A) * → B = K * (→ A * → B)
  6. Kung ang produkto ng scalar ng dalawang di-zero vectors ay zero, pagkatapos ay ang mga vectors na ito ay orthogonal, iyon ay, patayo sa bawat isa: isang ≠ 0, b ≠ 0, a * b = 0 <=> a ┴ b

Ang mga katangian na ito ay napakadaling bigyang-katwiran kung ito ay repelled mula sa kahulugan ng isang produkto ng scalar sa coordinate form at mula sa mga katangian ng mga operasyon ng karagdagan at pagpaparami ng mga wastong numero.

Halimbawa, pinatutunayan namin ang ari-arian ng commutativiveness ng produkto ng scalar (→ a, → b) = (→ b, → a)

Sa pamamagitan ng kahulugan (→ a, → b) = palakol * bx + ay * sa pamamagitan ng at (→ b, → a) = bx * palakol + sa pamamagitan ng * ay. Sa pamamagitan ng kabutihan ng mga katangian ng pagpapalit ng multiplikasyon ng mga tunay na numero, ang palakol * BX = BX * AX BX * sa pamamagitan ng = BX * ay, pagkatapos ay palakol * Bx + Ay * BX * AX + sa pamamagitan ng * ay.

Dahil dito, (→ a, → b) = (→ b, → a), na kinakailangan upang patunayan.

Katulad nito, ang natitirang mga katangian ng produkto ng scalar ay pinatunayan.

Dapat pansinin na ang pamamahagi ng ari-arian ng produkto ng scalar ay may bisa para sa anumang bilang ng mga bahagi, iyon ay,

Ang anggulo sa pagitan ng mga vectors ay tuwid, pagkatapos ay ang produkto ng scalar ay 0

at,

Sa pamamagitan ng cosine theorem ay maaaring maitala

Mula sa kung saan sumusunod:

Sa pamamagitan ng cosine theorem maaari mong paso rig2. 

Mga halimbawa ng mga kalkulasyon ng isang produkto ng SCALAR.

Halimbawa 1.

Kalkulahin ang produkto ng scalar ng dalawang vectors → A at → B kung ang kanilang mga haba ay 3 at 7 yunit, ayon sa pagkakabanggit, at ang anggulo sa pagitan nila ay 60 degrees.

Habang nagpapasya tayo:

Mayroon kaming lahat ng data upang kalkulahin ang produkto ng scalar sa pamamagitan ng kahulugan:

(→ a, → b) = → | a | * → | b | * Cos (→ a, → b) = 3 * 7 cos60 ° = 3 * 7 * 1/2 = 21/2 = 10.5.

Sagot: (→ a, → b) = 21/2 = 10.5.

Halimbawa 2.

Maghanap ng isang scalar produkto ng mga vectors → A at → B, kung → | a | = 2, → | b | = 5, ∠ (→ a, → b) = π / 6.

Habang nagpapasya tayo:

Gamit ang formula → A * → B = → | a | * → | b | * Cosα.

Sa kasong ito:

→ A * → B = → | a | * → | b | * Cosα = 2 * 5 * cosπ / 6 = 10 * √3 / 2 = 5√3

Sagot: → A * → B = 5√3.

Halimbawa 3.

Paano makahanap ng isang scalar produkto ng vectors → A = 7 * → M + 3 * → n at → b = 5 * → m + 8 * → n, kung ang mga vectors → m at → n ay patayo at ang kanilang mga haba ay 3 at 2 mga yunit, ayon sa pagkakabanggit.

Habang nagpapasya tayo:

Sa cosine theorem maaari mong isulat ang Figure 3.

Sa pamamagitan ng pamamahagi ng ari-arian ng produkto ng scalar, mayroon kami

Ayon sa unang kahulugan ng produkto ng scalar na mayroon kami

Ang kumbinasyon ng ari-arian ay nagbibigay-daan sa amin upang gumawa ng mga salik para sa isang marka ng scalar:

Ayon sa unang kahulugan ng produkto ng SCALAR, mayroon kaming RICE2

Sa pamamagitan ng kabutihan ng commutative property, ang huling expression ay aabutin

Sa pamamagitan ng kabutihan ng commutative property, ang huling expression ay aabutin

Kaya, pagkatapos ng pag-aaplay ng mga katangian ng produkto ng scalar, mayroon kami

Pag-alala sa formula para sa pagkalkula ng haba ng mga coordinate ng vector

Ito ay nananatiling upang ilapat ang formula upang kalkulahin ang produkto ng scalar sa pamamagitan ng haba ng mga vectors at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito:

Ang pamamahagi ng ari-arian ng produkto ng scalar ay may bisa para sa anumang bilang ng mga termino

Sagot: (→ a, → b) = 411.

Halimbawa 4.

Sa tamang triangular ABCA1B1C1 prism, ang lahat ng mga gilid na kung saan ay 1, hanapin ang cosine ng anggulo sa pagitan ng direktang AB1 at BC1.

Ang pamamahagi ng ari-arian ng produkto ng scalar ay may bisa para sa anumang bilang ng mga termino

Habang nagpapasya tayo:

  1. Ipinapakilala namin ang sistema ng coordinate. Ang mga katangian ng kapasidad ng pamamahagi ng produkto ng scalar ay may bisa para sa anumang bilang ng mga tuntunin ng Rice3

    Kung gumawa ka ng isang remote na pattern ng base ng prisma, nakakakuha kami ng isang malinaw na pattern ng eroplano na maaari mong madaling mahanap ang mga coordinate ng lahat ng mga punto ng interes.

    Solusyon ng halimbawa 3.
  2. Point A ay may mga coordinate (0; 0; 0). Point c - (1; 0; 0). Ituro sa - (1/2; √3 / 2; 0). Pagkatapos ay ang punto B1 ay may mga coordinate (1/2; √3 / 2; 1), at ituro ang C1 - (1; 0; 1).
  3. Makikita natin ang mga coordinate ng mga vectors → AB1 at → BC1: Solusyon ng Halimbawa 3 Figure 2.
  4. Hanapin ang haba ng mga vectors → AB1 at → BC1: Solusyon ng Halimbawa 3 Figure 3.
  5. Nakahanap kami ng isang produkto ng scalar ng mga vectors → AB1 at → BC1: Matapos ilapat ang mga katangian ng produkto ng scalar, mayroon kami
  6. Nakita namin ang cosine ng anggulo sa pagitan ng direktang AB1 at BC1: Ang formula para sa pagkalkula ng produkto ng scalar sa pamamagitan ng haba ng mga vectors at ang cosine ng sulok sa pagitan nila

Sagot: 1/4.

Halimbawa 5.

a) Suriin ang orthogonality ng mga vectors: → A (1; 2; -4) at → b (6; -1; 1).

b) Alamin kung may mga perpendikular na segment na KL at MN kung k (3; 5), l (-2; 0), m (8; -1), n ​​(1; 4).

Habang nagpapasya tayo:

a) Alamin kung ang orthogonal spatial vectors ay magiging. Kalkulahin ang kanilang produkto ng scalar: → ab = 1 * 6 + 2 * (- 1) + (-4) * 1 = 0, samakatuwid

Halimbawa 4.

b) Narito kami ay nagsasalita tungkol sa maginoo na mga segment ng eroplano, at ang gawain ay nalutas pa rin sa pamamagitan ng mga vectors. Nakita namin ang mga ito: → KL (-2-3; 0-5) = → KL (-5; -5), → MN (1-8; 4 - (- 1)) = → MN (-7; 5)

Kinakalkula namin ang kanilang produkto ng scalar: → KL * → MN = -5 * (- 7) + (-5) * 5 = 10 ≠ 0, nangangahulugan ito na ang mga segment ng KL at MN ay hindi patayo.

Bigyang-pansin ang dalawang malaking punto:

  • Sa kasong ito, hindi kami interesado sa partikular na halaga ng produkto ng scalar, mahalaga na hindi ito zero.
  • Sa huling output ito ay nauunawaan na kung ang mga vectors ay hindi orthogonal, ito ay nangangahulugan na ang mga kaukulang mga segment ay magiging patayo din. Ito ay malinaw na geometrically, kaya maaari mong agad na isulat ang konklusyon tungkol sa mga segment na hindi sila patayo.

Sagot: a) → isang patayo → b, b) Ang mga segment na KL, MN ay hindi patayo.

Halimbawa 6.

Tatlong vertices ng tatsulok A (-1; 0), b (3; 2), c (5; -4) ay ibinibigay. Maghanap ng isang anggulo sa tuktok ng B - ∠abc.

Habang nagpapasya tayo:

Sa kondisyon, hindi kinakailangan ang pagguhit, ngunit para sa kaginhawahan na maaari mong gawin:

Halimbawa 5.

Ang kinakailangang anggulo ng ∠ABC ay minarkahan ng berdeng arko. Agad na tandaan ang pagtatalaga ng paaralan: ∠ABC - Espesyal na pansin sa average na titik B ay ang tuktok ng sulok na kailangan mo. Para sa kaiklian, maaari mo ring isulat lamang ang ∠B.

Mula sa pagguhit maaari itong makita na ang anggulo ng tatsulok ay tumutugma sa anggulo sa pagitan ng mga vectors → BA at → BC, sa ibang salita: ∠ABC = ∠ (→ BA; → BC).

Makakakita tayo ng mga vectors:

remote na pagguhit ng base ng prisma

Kinakalkula namin ang produkto ng scalar:

Ang mga coordinate ng mga vectors → AB1 at → BC1

Kalkulahin ang haba ng mga vectors:

Vectors → AB1 at → BC1.

Hanapin ang Cosine Angle:

Scalar Product of Vectors → AB1 at → BC1.

Kapag ang mga halimbawa ay hindi nagiging sanhi ng mga paghihirap, maaari mong simulan ang pagtatala ng mga kalkulasyon sa isang linya:

Cosine angle sa pagitan ng direktang AB1 at BC1.

Ang halaga na nakuha ay hindi pangwakas, kaya walang partikular na kahulugan upang mapupuksa ang kawalan ng katwiran sa denamineytor.

Hanapin ang anggulo mismo:

iskedyul

Kung titingnan mo ang pagguhit, ang resulta ay talagang mukhang ang katotohanan. Upang suriin ang anggulo ay maaari ring sinusukat at ang transporter.

Sagot: ∠ABC = arccos (1/5√2) ≈1.43 rad. ≈ 82 °

Mahalaga na huwag malito na ang gawain ay tinanong tungkol sa anggulo ng tatsulok, at hindi tungkol sa anggulo sa pagitan ng mga vectors. Samakatuwid, tinukoy namin ang eksaktong sagot: arccos (1/5√2) at ang tinatayang halaga ng anggulo: ≈1.43 ay masaya. ≈ 82 °, na madaling mahanap gamit ang isang calculator.

At ang mga may kaunti at nais na matukoy, ay maaaring kalkulahin ang mga anggulo ng ∠A, ∠C, at siguraduhin ang katarungan ng canonical equality ∠A + ∠B + ∠C = 180 °.

Para sa kaalaman upang maging isang praktikal na kasanayan - magsulat ng isang bata sa isang libreng pambungad na aralin sa matematika sa SkySmart. Sa aralin, ipapakita namin kung paano nakaayos ang lahat, malutas ang isang pares ng mga gawain at magbigay ng mga rekomendasyon sa programa ng pagsasanay para sa iyong anak.

Scalar Product Vectors.

Patuloy kaming nakikitungo sa mga vectors. Sa unang aralin Vectors para sa teapots. Tiningnan namin ang konsepto ng vector, mga aksyon na may mga vectors, vector coordinate at pinakasimpleng gawain na may mga vectors. Kung ipinasok mo ang pahinang ito sa unang pagkakataon mula sa search engine, masidhing inirerekomenda ko ang pagbabasa ng artikulo sa pagpapakilala sa itaas, dahil kinakailangan upang mag-navigate sa mga terminong ginamit ko, notasyon ko, upang magkaroon ng pangunahing kaalaman tungkol sa mga vectors at magagawang upang malutas ang mga gawain sa elementarya. Ang araling ito ay isang lohikal na pagpapatuloy ng paksa, at sa ito, tutukuyin ko ang mga tipikal na gawain kung saan ginagamit ang produkto ng scalar ng mga vectors. Ito ay isang napakahalagang trabaho. . Subukan na huwag makaligtaan ang mga halimbawa, isang kapaki-pakinabang na bonus ay naka-attach sa kanila - ang pagsasanay ay makakatulong sa iyo upang ayusin ang materyal na lumipas at "punan ang kamay" sa paglutas ng mga karaniwang gawain ng analytical geometry.

Pagdagdag ng mga vectors, vector multiplication sa pamamagitan ng numero .... Ito ay walang muwang na isipin na ang matematika ay hindi dumating sa anumang bagay. Bilang karagdagan sa mga aksyon na nasuri, mayroong maraming iba pang mga operasyon na may mga vectors, katulad: Scalar Product Vectors. , Vector Artwork Vectors. и Mixed vectors. . Ang produkto ng scalar ng mga vectors ay pamilyar sa amin mula sa paaralan, dalawang iba pang mga gawa tradisyonal na tumutukoy sa kurso ng mas mataas na matematika. Ang mga tema ay simple, ang algorithm para sa paglutas ng maraming mga gawain ng stemather at nauunawaan. Ang tanging bagay. Ang impormasyon ay disente, kaya hindi kanais-nais upang subukang master-break ang lahat at kaagad. Ito ay totoo lalo na sa teapots, naniniwala sa akin, ang may-akda ay hindi nais na pakiramdam chikatilo mula sa matematika. Well, hindi mula sa matematika, siyempre, masyadong =) mas handa ang mga mag-aaral ay maaaring gamitin ang mga materyales pili, sa isang tiyak na kahulugan, "upang makakuha ng" nawawalang kaalaman, para sa iyo ako ay isang hindi nakakapinsala graph dracula =)

Bubuksan namin, sa wakas, ang pinto at passionately makita kung ano ang mangyayari kapag dalawang bersyon matugunan ang bawat isa ....

Kahulugan ng isang produkto ng scalar ng mga vectors. Mga katangian ng isang produkto ng scalar. Karaniwang mga gawain

Ang konsepto ng isang trabaho sa scalar

Unang Pro. Anggulo sa pagitan ng mga vectors . Sa tingin ko lahat ay intuitive na tulad ng isang anggulo sa pagitan ng mga vectors, ngunit sa kaso lamang ng kaunti pa. Isaalang-alang ang libreng nonzero vectors.  и . Kung ipagpaliban mo ang mga vectors mula sa isang arbitrary point. , Makakakuha ako ng isang larawan na marami ang nakapagpakita sa pag-iisip: Anggulo sa pagitan ng mga vectors

Ikumpisal ko, narito sinaktan ko ang sitwasyon lamang sa antas ng pag-unawa. Kung kailangan mo ng isang mahigpit na kahulugan ng anggulo sa pagitan ng mga vectors, mangyaring makipag-ugnay sa aklat-aralin, para sa mga praktikal na gawain, ito ay nasa prinsipyo para sa wala. Gayundin dito, ako ay nasa mga lugar upang huwag pansinin ang zero vectors dahil sa kanilang maliit na praktikal na kahalagahan. Ang reservation ay partikular na ginawa para sa mga advanced na bisita ng site na maaaring sumisigaw sa akin sa teoretikal na hindi pagkumpleto ng ilang kasunod na mga pahayag.

Anggulo sa pagitan ng mga vectors maaaring kumuha ng mga halaga mula 0 hanggang 180 degrees (mula 0 hanggang Inclusive radians). Analytically ang katotohanang ito ay naitala sa anyo ng double inequalities: O. (sa radians).

Sa icon ng anggulo ng panitikan madalas laktawan at isulat lamang .

Kahulugan: Scalar produkto ng dalawang vectors.  и Ang bilang ay tinatawag na produkto ng haba ng mga vectors na ito sa cosine ng sulok sa pagitan nila: Halimbawa 6.

Ito ay ngayon isang mahigpit na kahulugan.

Tumuon kami sa mahahalagang impormasyon:

Pagtatalaga: Ang produkto ng scalar ay tinutukoy sa pamamagitan ng. o simple .

Ang resulta ng operasyon ay isang numero : Ang vector ay pinarami ng vector, at ang numero ay nakuha. Sa katunayan, kung ang haba ng mga vectors - Ang mga ito ay mga numero, cosine anggulo - isang numero, pagkatapos ang kanilang trabaho Magkakaroon din ng isang numero.

Kaagad ng ilang mga mainit-init na halimbawa:

Halimbawa 1.

Maghanap ng isang scalar produkto ng vectors.  и , kung ang

Desisyon: Ginagamit namin ang formula . Sa kasong ito:

Sagot:

Ang mga halaga ng cosine ay matatagpuan sa. Trigonometric Table. . Inirerekomenda kong i-print ito - ito ay kinakailangan sa halos lahat ng mga seksyon ng tower at kakailanganin ng maraming beses.

Pulos mula sa isang matematiko punto ng view ang produkto ng scalar ay dimensionless, iyon ay, ang resulta, sa kasong ito , isang numero lamang at iyan. Mula sa pananaw ng mga gawain ng pisika, ang produkto ng scalar ay laging may isang partikular na kahulugan, iyon ay, pagkatapos ng resulta, kailangan mong tukuyin ang isang partikular na pisikal na yunit. Ang canonical na halimbawa ng pagkalkula ng trabaho ng lakas ay matatagpuan sa anumang aklat (ang formula eksakto ay isang produkto ng scalar). Ang lakas ng lakas ay nasusukat sa Joules, samakatuwid, at ang sagot ay itatala nang partikular, halimbawa, .

Halimbawa 2.

Hanapin , kung ang , at ang anggulo sa pagitan ng mga vectors ay pantay .

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng desisyon, ang sagot sa dulo ng aralin.

Ang anggulo sa pagitan ng mga vectors at ang halaga ng produkto ng scalar

Halimbawa 1, positibo ang produkto ng scalar, at halimbawa 2 - negatibo. Alamin kung ano ang depende sa pag-sign ng isang scalar. Tinitingnan namin ang aming formula: . Ang haba ng mga nonzero vectors ay palaging positibo: Samakatuwid, ang pag-sign ay maaaring nakasalalay lamang sa halaga ng cosine.

Tandaan: Para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa impormasyon sa ibaba, ito ay mas mahusay na upang galugarin ang cosine iskedyul sa mga pamamaraan Mga tsart at mga katangian ng pag-andar . Tingnan kung paano kumikilos ang cacinus sa segment .

Tulad ng nabanggit, ang anggulo sa pagitan ng mga vectors ay maaaring mag-iba sa loob At ang mga sumusunod na kaso ay posible:

1) Kung Anggulo sa pagitan ng mga vectors talamak : (mula 0 hanggang 90 degrees), pagkatapos , I. Ang produkto ng scalar ay magiging positibo : . Espesyal na kaso: Kung Vectors. Sonedated. Pagkatapos ang sulok sa pagitan nila ay itinuturing na zero. At ang produkto ng scalar ay magiging positibo rin. Sa abot ng Ang formula ay pinasimple: .

2) Kung Anggulo sa pagitan ng mga vectors bobo : (mula 90 hanggang 180 degrees) , at naaayon, Negatibong produkto ng scalar : . Espesyal na kaso: Kung Vectors. Nakadirekta sa tapat pagkatapos ay ang sulok sa pagitan nila ay isinasaalang-alang Umalis : (180 degrees). Ang produkto ng scalar ay negatibo rin dahil

Fair and Return Statements:

1) Kung , pagkatapos ay ang anggulo sa pagitan ng mga vectors ng data ay matalim. Bilang kahalili, pinahiran ang mga vectors.

2) Kung , Kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga vectors ng data ay hangal. Bilang kahalili, ang mga vectors ay nakadirekta sa tapat.

Ngunit ang ikatlong kaso ay partikular na interesado:

3) Kung Anggulo sa pagitan ng mga vectors tuwid. : (90 degrees)  и Ang produkto ng Scalar ay zero. : . Ang kabaligtaran ay totoo rin: Kung T. . Ang Compact Statement ay binuo bilang mga sumusunod: Ang produkto ng scalar ng dalawang vectors ay zero kung at kung ang mga vectors na ito ay orthogonal . Maikling Mathematical Recording:

Labanan! Tandaan : Ulitin Mga Pangunahing Kaalaman ng Mathematical Logic. : Bilateral lohikal na resulta icon. Karaniwan basahin "pagkatapos at pagkatapos lamang", "sa na at lamang sa kaso." Tulad ng makikita mo, ang mga arrow ay nakadirekta sa magkabilang panig - "Ito ay sumusunod mula dito, at pabalik - mula rito, sumusunod ito." Ano, sa pamamagitan ng paraan, ang pagkakaiba mula sa unilateral follow-up na icon ? Icon claims. Tanging iyon na "sumusunod ito mula dito", at hindi ang katotohanan na ang kabaligtaran ay tama. Halimbawa: Ngunit hindi lahat ng hayop ay isang panter, kaya sa kasong ito hindi mo magagamit ang icon . Kasabay nito, sa halip na icon  maaari Gumamit ng one-way na icon. Halimbawa, paglutas ng gawain, nalaman namin iyon at concluded na vectors ay orthogonal: - Ang naturang rekord ay tama, at mas may kaugnayan kaysa sa .

Ang ikatlong kaso ay may mahusay na praktikal na kabuluhan. Dahil pinapayagan ka nitong suriin, orthogonal vectors o hindi. Nilutas namin ang gawaing ito sa ikalawang bahagi ng aralin.

Scalar square vector. Mga katangian ng isang piraso ng scalar.

Bumalik tayo sa sitwasyon kapag dalawang bersyon Sonedated. . Sa kasong ito, ang anggulo sa pagitan nila ay zero, At ang formula ng produkto ng scalar ay tumatagal ng form: .

At kung ano ang mangyayari kung ang vector Multiply sa iyong sarili? Maliwanag na ang vector ay pinahiran sa kanyang sarili, kaya ginagamit namin ang pinasimple na formula sa itaas:

O:

Numero Tinatawag na Scalar Square Vector. at italaga tulad nito .

Sa ganitong paraan, Scalar square vector. katumbas ng parisukat ng haba ng vector na ito: Makakakita kami ng mga vectors

Mula sa pagkakapantay-pantay, maaari kang makakuha ng isang formula para sa pagkalkula ng haba ng vector:

Habang tila walang tigil, ngunit ang mga gawain ng aralin ay mawawala sa lugar. Upang malutas ang mga problema, kakailanganin din namin Mga katangian ng isang piraso ng scalar. .

Para sa arbitrary vectors. at anumang numero Makatarungang mga sumusunod na katangian:

isa) - kilusan o commutative Ang batas ng trabaho ng scalar.

2) - Pamamahagi o distribution Ang batas ng trabaho ng scalar. Lamang, maaari mong ihayag ang mga braket.

3) - Breathable o nag-uugnay Ang batas ng trabaho ng scalar. Ang pare-pareho ay maaaring makuha mula sa produkto ng scalar.

Kadalasan, ang lahat ng uri ng mga ari-arian (na kailangan pa rin!) Naisip ng mga mag-aaral bilang hindi kinakailangang basura, na kailangang ipadala at kaagad pagkatapos ng pagsusulit ay ligtas na nakalimutan. Tila na dito ay mahalaga, lahat ng bagay at kaya mula sa unang klase alam na ang trabaho ay hindi nagbabago mula sa permutasyon ng multipliers: . Dapat balaan, sa mas mataas na matematika na may katulad na diskarte ay madaling i-block ang kahoy na panggatong. Kaya, halimbawa, ang transition property ay hindi makatarungan para sa Algebraic matrices. . Ito ay mali para sa. Vector art vectors. . Samakatuwid, sa anumang mga katangian na matutugunan mo sa kurso ng mas mataas na matematika, hindi bababa sa, mas mahusay na hilingin na maunawaan kung ano ang maaari mong gawin, ngunit kung bakit imposible.

Halimbawa 3.

Maghanap ng isang scalar produkto ng vectors.  и Kung ito ay kilala na .

Desisyon: Unang linawin ang sitwasyon sa vector. . Ano ito? Halaga vectors.  и ay isang ganap na tinukoy na vector, na ipinahiwatig sa pamamagitan ng . Ang geometriko interpretasyon ng mga pagkilos na may mga vectors ay matatagpuan sa artikulo Vectors para sa teapots. . Parehong perehil na may vector. - Ito ang kabuuan ng mga vectors  и .

Kaya, sa kondisyon, kinakailangan upang makahanap ng isang produkto ng scalar . Sa teorya, kailangan mong ilapat ang nagtatrabaho formula Ngunit ang problema ay hindi namin alam ang haba ng mga vectors at ang sulok sa pagitan nila. Ngunit sa kondisyon na ibinigay katulad na mga parameter para sa mga vectors Kaya pupunta tayo sa ibang paraan:

(1) mga substrators ang pagpapahayag ng mga vectors .

(2) magbubunyag ng mga bracket ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga polynomial, maaari kang makahanap ng spell sa artikulo. Kumplikadong mga numero O. Pagsasama ng isang fractional rational function. . Hindi ko ulitin =) sa pamamagitan ng paraan, upang ipakita ang mga bracket sa amin ang lahat ng pamamahagi ng ari-arian ng produkto ng scalar. Mayroon kaming tama.

(3) Sa una at huling termino, ang mga parisukat ng mga vectors ay compact: . Sa pangalawa, ginagamit namin ang rearrangement ng produkto ng scalar: .

(4) nagbibigay kami ng mga katulad na termino: .

(5) Sa unang termino, ginagamit namin ang isang formula ng scalar square , hindi pa nabanggit. Sa huling termino, naaayon, ang parehong bagay ay gumagana: . Ang pangalawang termino ay lumalawak ayon sa karaniwang formula .

(6) Pinapalit namin ang mga kundisyong ito , at maingat na isagawa ang pangwakas na kalkulasyon.

Sagot:

Ang negatibong halaga ng produkto ng scalar ay nagsasaad ng katotohanan na ang anggulo sa pagitan ng mga vectors ay mapurol.

Taktikal na gawain, narito ang isang halimbawa para sa isang malayang solusyon:

Halimbawa 4.

Maghanap ng isang scalar produkto ng vectors.  и Kung ito ay kilala na .

Isang maikling solusyon at sagot sa dulo ng aralin.

Ngayon isa pang karaniwang gawain, sa isang bagong formula haba ng vector . Ang mga pagtatalaga dito ay magiging isang bit coincide, kaya para sa kalinawan ako ay muling isulat ito sa isa pang sulat:

Halimbawa 5.

Hanapin ang haba ng vector. , kung ang .

Desisyon Ito ay ang mga sumusunod:

(1) ibinibigay namin ang expression vector. .

(2) gamit ang haba ng formula: Kasabay nito, bilang vector "ve", mayroon kaming isang expression ng integer. .

(3) Ginagamit namin ang formula ng Summer Square . Mangyaring tandaan kung paano ito gumagana kakaiba dito: - Sa katunayan, ito ang parisukat ng pagkakaiba, at, sa katunayan, ito ay. Ang mga nais ay maaaring muling ayusin ang mga vectors sa ilang mga lugar: - Ito ay naging pareho sa katumpakan bago ang permutasyon ng mga tuntunin.

(4) Karagdagang ay pamilyar mula sa dalawang nakaraang mga gawain.

Sagot:

Kung pinag-uusapan mo ang haba, huwag kalimutang tukuyin ang dimensyon - "mga yunit".

Halimbawa 6.

Hanapin ang haba ng vector. , kung ang .

Ito ay isang halimbawa para sa isang malayang solusyon. Kumpletong solusyon at sagot sa dulo ng aralin.

Anggulo sa pagitan ng mga vectors

Patuloy naming pinipigilan ang mga kapaki-pakinabang na bagay mula sa produkto ng scalar. Muli nating tingnan ang aming formula . Ayon sa panuntunan ng proporsyon upang i-reset ang haba ng mga vectors sa denamineytor ng kaliwang bahagi:

At ang mga bahagi ay magbabago ng mga lugar: Kalkulahin ang piraso ng scalar.

Ano ang kahulugan ng formula na ito? Kung ang haba ng dalawang vectors at ang kanilang mga produkto ng scalar ay kilala, pagkatapos ay ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors ng data ay maaaring kalkulahin, at, dahil dito, ang anggulo mismo.

Produkto ng scalar - Ito ba ay isang numero? Numero. Haba ng vector. - Numero? Numero. Kaya fraction. Din ay ilang numero . At kung ang cosine ng sulok ay kilala: , madaling mahanap ang isang anggulo mismo gamit ang reverse function: .

Halimbawa 7.

Hanapin ang sulok sa pagitan ng mga vectors  и Kung ito ay kilala na .

Desisyon: Ginagamit namin ang formula: Sa huling yugto ng mga kalkulasyon, ginamit ang teknikal na pagtanggap - ang pag-aalis ng hindi makatwiran sa denamineytor. Upang maalis ang irrationality, ako ay isang dominado na numerator at denominador sa .

Kaya, kung , pagkatapos:

Ang mga halaga ng kabaligtaran trigonometriko function ay matatagpuan sa pamamagitan ng. Trigonometric Table. . Kahit na ito ay bihirang bihira. Sa mga gawain ng analytical geometry, ang ilang uri ng nerbiyos na oso ay tila mas madalas At ang halaga ng anggulo ay dapat na humigit-kumulang gamit ang isang calculator. Sa totoo lang, ulitin natin ang gayong larawan.

Sagot:

Muli, huwag kalimutang ipahiwatig ang dimensyon - radians at degree. Sa personal, ako ay sigurado na "alisin ang lahat ng mga tanong", mas gusto kong ipahiwatig ang parehong (kung, sa kondisyon, siyempre, hindi kinakailangan upang ipakita lamang ang sagot sa radians o lamang sa degrees).

Ngayon ay maaari mong makayanan ang isang mas kumplikadong gawain:

Halimbawa 7 *

Ay ibinigay - haba ng vector. , at ang sulok sa pagitan nila . Hanapin ang sulok sa pagitan ng mga vectors , .

Ang gawain ay hindi kahit na kumplikado bilang maramihang.

Susuriin namin ang algorithm ng solusyon:  и 1) Sa ilalim ng kondisyon na kinakailangan upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga vectors .

, kaya kailangan mong gamitin ang formula 2) Maghanap ng isang produkto ng scalar.

(Tingnan ang mga halimbawa. 3, 4). 3) Hanapin ang haba ng vector. At ang haba ng vector.

(Tingnan ang mga halimbawa. 5, 6). 4) Ang pagtatapos ng solusyon ay tumutugma sa halimbawa ng numero 7 - alam namin ang numero

Isang maikling solusyon at sagot sa dulo ng aralin.

Kaya madaling makahanap ng isang anggulo mismo:

Ang ikalawang seksyon ng aralin ay nakatuon sa parehong produkto ng scalar. Coordinate. Mas madali ito kaysa sa unang bahagi.

Scalar produkto ng mga vectors na ibinigay ng mga coordinate sa isang orthonormal na batayan Sa aralin Vectors para sa teapots.

Isinasaalang-alang namin ang dalawang kaso: mga vectors sa mga eroplano at vectors sa tatlong-dimensional na espasyo, habang ang "flat" at "spatial" na mga formula ay magkatulad. Para sa produkto ng scalar ng mga vectors, lahat ay pareho! Bago magpatuloy pa, sasabihin ko na ang lahat ng pag-apruba sa itaas, ang mga teorema at layunin (ang unang bahagi ng artikulong ito) ay may bisa sa parehong eroplano at espasyo. Ang ikalawang mahalagang pangungusap ay may kaugnayan sa batayan. Tinatalakay ng seksyon na ito Tanging orthonormal bases.

Mga eroplano at mga puwang.

Ang salaysay ay muli pumunta parallel - parehong para sa mga vectors ng eroplano at para sa spatial vectors.

Produkto ng scalar sa mga coordinate  и Scalar Product Vectors. , tinukoy sa orthonormal na batayan Kalkulahin ang haba ng mga vectors

Produkto ng scalar sa mga coordinate Scalar Product Vectors. , tinukoy sa orthonormal na batayan Natagpuan namin ang cosine ng sulok

Ipinahayag ang formula

Iyon ay, ang produkto ng scalar ay katumbas ng halaga ng mga produkto ng kaukulang mga coordinate ng mga vectors.

Halimbawa 8.  и Maghanap ng isang Scalar Product of Vectors:  и ngunit)

Desisyon: b) :

Kung may mga tuldok a) Tulad ng eroplano vector dito. Ayon sa formula

Sa pamamagitan ng paraan: ang produkto ng scalar ay negatibo, nangangahulugan ito na ang anggulo sa pagitan ng mga vectors ng data ay mapurol. Maaaring ipagpaliban ng mga matanong na isip ang mga vectors sa eroplano Mula sa isang punto, at siguraduhin na ito ay totoo.

b) At narito kami ay nagsasalita tungkol sa mga puntos at vectors ng espasyo. Makakakita kami ng mga vectors muna: Umaasa ako na ang pinakasimpleng gawain na iyong ginawa.

Ayon sa formula Kinakalkula namin ang produkto ng scalar:

Sagot:

Sa pamamagitan ng paraan: ang produkto ng scalar ay positibo, nangangahulugan ito na ang anggulo sa pagitan ng spatial vectors

ay matalim.

Sa ilang mga karanasan, ang produkto ng scalar ay maaaring pinagtibay upang mabilang nang pasalita.  и Sinusuri ang mga vectors para sa orthogonality gamit ang isang produkto ng scalar. Bumalik tayo sa isang mahalagang pagkakataon kapag ang mga vectors ay orthogonal. Ipapaalala ko sa iyo: mga vectors orthogonal pagkatapos at lamang kung kailan . Sa mga coordinate, ang katotohanang ito ay naitala tulad ng sumusunod:

(para sa mga vectors ng eroplano);

(para sa mga vectors ng espasyo).  и  Halimbawa 9.  и , kung ang

Desisyon: a) Suriin ang orthogonality ng mga vectors: b) Alamin kung magkakaroon ng mga afendicular na segment

a) Alamin kung ang orthogonal spatial vectors ay magiging. Kalkulahin ang kanilang produkto ng scalar: , kaya, b) Narito kami ay pinag-uusapan

Conventional Segments. Mga eroplano (kung ano ang pagkakatulad at pagkakaiba sa vector at segment, ipinaliwanag ko nang mahusay sa unang aralin). Pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga maginoo na segment, at ang gawain ay nalutas pa rin sa pamamagitan ng mga vectors. Maghanap ng mga Vectors: Kalkulahin ang kanilang produkto ng scalar:  и ibig sabihin

Bigyang-pansin ang dalawang malaking punto:

Mga segment Hindi perpendikular. .

- Sa kasong ito, hindi kami interesado sa partikular na halaga ng produkto ng scalar, Kalkulahin ang kanilang produkto ng scalar:  и Mahalaga na hindi ito zero.

Sagot: - Sa huling output ng "sa pagitan ng mga linya", ito ay ipinahiwatig: "Kung ang mga vectors ay hindi orthogonal, ito ay nangangahulugan na ang mga kaukulang mga segment ay hindi patayo sa kaukulang mga segment." Ito ay malinaw na geometrically, kaya maaari mong agad na isulat ang konklusyon tungkol sa mga segment: "Kaya Hindi perpendikular. " ibig sabihin

ngunit)

b) mga segment Halimbawa 10. Apat na punto ng espasyo ang ibinigay . Alamin kung ang sumusunod ay perpendikular Tuwid. .

: ngunit) ;

b)

Ito ay isang gawain para sa isang malayang solusyon. Ang kondisyon ay nangangailangan upang suriin ang perpendicularity ng direktang. At ang gawain ay malulutas muli sa pamamagitan ng mga vectors para sa kumpletong pagkakatulad sa nakaraang halimbawa. Geometrically, masyadong, lahat ng bagay ay halata - kung namamahala tayo upang patunayan ang perpendicularity ng mga vectors, pagkatapos ay ang perpendicularity ng kaukulang tuwid na mga linya ay awtomatikong sundin. Apat na vectors na nakikita mo, tumawag

Gabay vectors.

tuwid.

Kumpletong solusyon at sagot sa dulo ng aralin. Kapangyarihan ng analytical geometry - sa vectors. Kaya, sa itinuturing na mga halimbawa, sa tulong ng isang produkto ng scalar, hindi lamang ang orthogonality ng mga vectors mismo ay maaaring mai-install, ngunit din perpendicularity ng mga segment nang direkta. At ito ay naging isang maliit na bahagi ng kagandahan ng paksa. Pagkumpleto ng pag-uusap tungkol sa orthogonality, ang sieve ng isa pang maliit na gawain, na paminsan-minsan ay nakakatugon sa pagsasanay:

Desisyon: Halimbawa 11. Kung ano ang halaga Vectors. ay orthogonal? Sinusuri ang mga vectors para sa orthogonality gamit ang isang produkto ng scalar. .

Sa ilalim ng kondisyon na kailangan mong hanapin

Iyon

Ang halaga ng parameter.

Sagot: Upang ang mga vectors na ito ay orthogonal. Dalawang puwang ng vector Ang kaso ay para sa maliit, gumawa ng equation: Ipinakikita namin ang mga braket at nagbibigay ng katulad na mga termino: :

Nilutas namin ang pinakasimpleng linear equation: para sa Kapangyarihan ng analytical geometry - sa vectors. Kaya, sa itinuturing na mga halimbawa, sa tulong ng isang produkto ng scalar, hindi lamang ang orthogonality ng mga vectors mismo ay maaaring mai-install, ngunit din perpendicularity ng mga segment nang direkta. At ito ay naging isang maliit na bahagi ng kagandahan ng paksa. Sa itinuturing na gawain, madali itong magsagawa ng inspeksyon, sa pinagmulan ng mga vectors

Pinapalit namin ang nakuha na halaga ng parameter.

Kumpletong solusyon at sagot sa dulo ng aralin. At nakita namin ang isang produkto ng scalar: - Oo, sa katunayan, kailan

Orthogonal, na kinakailangan upang suriin.

Halimbawa 12.

Scalar Product Vectors.

Ito ba ay -2?

Maghanap ng isang scalar produkto ng vectors. , kung ang

Desisyon: Ito ay isang simpleng halimbawa sa mga vectors ng eroplano. Para sa isang malayang solusyon. Isang maliit na komplikadong gawain:

Produkto ng scalar sa mga coordinate, kung ang mga vectors ay itinakda ng mga halaga ng mga vectors :Halimbawa 13. :Ang stencil path ng nakaraang seksyon ay tatanungin, kung saan ipinahayag namin ang mga braket: Sa aralin .

Kinakalkula namin ang produkto ng scalar:

Sagot:

. Pero bakit? Mayroong mas madaling maintindihan solusyon:

Hanapin ang vector.

Maghanap ng isang scalar produkto ng vectors.  и , kung ang

Hanapin ang vector. Elementarya na may mga vectors, na itinuturing sa dulo ng aralin

Ano ang sasabihin, upang harapin ang mga coordinate ay mas kaaya-aya.

Halimbawa 14.

Ito ay isang halimbawa para sa isang malayang solusyon. Dito maaari mong gamitin ang nag-uugnay na operasyon, iyon ay, huwag mabilang , kung ang

Desisyon: , at agad na matiis ang Troika sa labas ng produkto ng scalar at mag-upgrade dito sa huling pagkakataon. Solusyon at sagot sa dulo ng aralin. Sa pagtatapos ng paragraph provocative halimbawa sa pagkalkula ng haba ng vector:

Produkto ng scalar sa mga coordinate, kung ang mga vectors ay itinakda ng mga halaga ng mga vectors :

Halimbawa 15. :

Hanapin ang mga vectors ng haba

Ang paraan ng nakaraang seksyon ay lilitaw muli: :Ngunit may isa pang kalsada: At ang haba nito sa maliit na formula Ang produkto ng scalar ay hindi narito sa lahat. Paano hindi ito sa mga kaso at kapag kinakalkula ang haba ng vector Huminto. Huwag samantalahin ang malinaw na ari-arian ng haba ng vector? Ano ang masasabi tungkol sa haba ng vector ? Ang vector na ito ay mas matagal na vector. 5 beses. Ang direksyon ay kabaligtaran, ngunit hindi ito gumaganap ng isang papel, dahil makipag-usap tungkol sa haba. Malinaw naman, ang haba ng vector : katumbas ng trabaho .

module.

Sagot:

numero

Para sa haba ng vector - Ang pag-sign ng module ay "kumakain" ng posibleng minus ng numero :

Sa ganitong paraan:  и Ang cosine formula ng anggulo sa pagitan ng mga vectors na itinakda ng mga coordinate , tinukoy sa orthonormal na batayan :Halimbawa 7..

Ngayon ay mayroon kaming kumpletong impormasyon sa dating nagmula cosine formula sa pagitan ng mga vectors Ang cosine formula ng anggulo sa pagitan ng mga vectors na itinakda ng mga coordinate , tinukoy sa orthonormal na batayan : Halimbawa 8.

ipahayag ang mga coordinate ng mga vectors

Cosine angle sa pagitan ng mga vectors ng eroplano tinukoy sa orthonormal na batayan Cosine angle sa pagitan ng mga vectors ng espasyo Halimbawa 16.

Desisyon: Dana tatlong vertices ng isang tatsulok Ang formula ng isang piraso ng scalar.. Hanapin (anggulo sa tuktok ). Sa kondisyon, ang pagguhit ay hindi kinakailangan, ngunit pa rin: Kinakailangang sulok minarkahan ng berdeng arko. Agad na tandaan ang pagtatalaga ng paaralan: .

- Espesyal na pansin sa. Gitna  и sulat .

- Ito ang tuktok ng sulok na kailangan mo. Para sa brevity, posible ring mag-record lamang

Mula sa pagguhit ay medyo halata na ang anggulo

Kinakalkula namin ang produkto ng scalar:

Ang tatsulok ay tumutugma sa anggulo sa pagitan ng mga vectors

, sa ibang salita:

Ang pagtatasa ay mas mahusay na pag-aaral upang magsagawa ng pag-iisip.

Maghanap ng mga Vectors:

Hanapin ang anggulo mismo:

At ang haba ng mga vectors:

Sagot:

Cosine Corner: Ito ang pamamaraan para sa pagsasagawa ng gawain na inirerekomenda ang mga teapot. Maaaring itala ng mas maraming mga mambabasa ang mga kalkulasyon ng "One Line": Narito ang isang halimbawa ng isang "masamang" cosine value. Ang halaga na nakuha ay hindi pangwakas, kaya walang partikular na kahulugan upang mapupuksa ang kawalan ng katwiran sa denamineytor. Kung titingnan mo ang pagguhit, ang resulta ay lubos na kapani-paniwala. Upang suriin ang anggulo ay maaari ring sinusukat at ang transporter. Huwag sirain ang monitor coating =) Bilang tugon, huwag kalimutan iyon

nagtanong tungkol sa sulok ng tatsulok (at hindi tungkol sa anggulo sa pagitan ng mga vectors), huwag kalimutang tukuyin ang eksaktong sagot:

at tinatayang halaga ng anggulo:

natagpuan gamit ang calculator. Ang mga taong nasiyahan sa proseso ay maaaring kalkulahin ang mga sulok  и

, at siguraduhin ang katarungan ng pagkakapantay-pantay ng kanonikal

Halimbawa 17.

Ang espasyo ay ibinigay ng mga coordinate ng tatsulok ng kanilang mga vertex . Hanapin ang sulok sa pagitan ng mga partido

Ito ay isang halimbawa para sa isang malayang solusyon. Kumpletong solusyon at sagot sa dulo ng aralin Ang maliit na huling seksyon ay itatalaga sa mga projection kung saan ang produkto ng scalar ay "kasangkot": Vector projection sa vector. Vector projections sa coordinate axes.  и :Scalar square vector.Cosine Guides Vector. Ang vector ay maaaring inaasahang sa iba't ibang mga anggulo, ngunit madalas (at default) sa ilalim ng projection ay nagpapahiwatig orthogonal. Projection. Isaalang-alang ang mga vectors Sprier vector. Sa vector. , para dito, mula sa simula at dulo ng vector ligtaan Perpendiculary Sa vector. Ang vector ay maaaring inaasahang sa iba't ibang mga anggulo, ngunit madalas (at default) sa ilalim ng projection ay nagpapahiwatig (Berdeng may tuldok na linya). Isipin na sa vector. Patayo na mahulog rays ng liwanag. Pagkatapos ay i-cut.

(pulang linya) ay magiging isang "anino" ng vector . Sa kasong ito, ang projection ng vector. ang haba ng hiwa . Iyon ay, ang projection ay isang numero. Ang numerong ito ay ipinahiwatig tulad ng sumusunod: , "Malaking vector" ay tumutukoy sa vector.

Kung saan ang projection, "isang maliit na substrate vector" ay nagpapahiwatig ng vector

SA na kung saan ay inaasahang. I-record ang sarili nito

Ito ay binabasa tulad nito: "Ang projection ng vector" A "sa magiging vector." sa pagitan ng mga vectors  talamak Ano ang mangyayari kung ang vector ay "masyadong maikli"? Isinasagawa namin ang isang tuwid na linya na naglalaman ng vector. At ang vector "a" ay inaasahang

Sa direksyon ng vector "maging"  Simple - sa isang tuwid na linya na naglalaman ng vector. Ang parehong nangyayari kung ang vector "A" ay ipinagpaliban sa ikatatrumpu't ng Kaharian - madali pa rin ito sa isang tuwid na linya na naglalaman ng vector. T. Kung sulok

Ito ay binabasa tulad nito: "Ang projection ng vector" A "sa magiging vector." sa pagitan ng mga vectors  (tulad ng sa figure), pagkatapos Kung ang mga vectors orthogonal. (Ang projection ay isang punto, ang mga sukat na kung saan ay itinuturing na zero).

bobo Cosine formula corner sa pagitan ng mga vectors

(sa larawan sa pag-iisip ayusin ang arrow ng vector

), T.

(Ang parehong haba, ngunit kinuha sa isang minus sign).

module.

Ipagpaliban ko ang mga vectors na ito mula sa isang punto: Malinaw naman, kapag gumagalaw ang vector, ang kanyang projection ay hindi nagbabago Ang formula ng produkto ng scalar ng eroplano ng eroplano sa orthonormal na batayan

Alalahanin ang paaralan. Isaalang-alang ang isang hugis-parihaba na tatsulok. Ang cosine ng isang talamak na anggulo ay tinatawag na ratio ng katabing catech para sa hypotenuse. Sa kasong ito:

Sa kabilang banda, nakuha na namin ang isang cosine formula ng anggulo sa pagitan ng mga vectors:  и Pagbawas ng mga denominador ng parehong bahagi sa. At nakakakuha kami ng isang formula para sa pagkalkula ng projection: Ang vector ay maaaring inaasahang sa iba't ibang mga anggulo, ngunit madalas (at default) sa ilalim ng projection ay nagpapahiwatig  tinukoy sa orthonormal na batayan :Ang formula ng produkto ng scalar ng mga vectors ng espasyo sa orthonormal na batayan.

Inalis ang formula, pinutol namin ito sa mga coordinate: Pagbawas ng mga denominador ng parehong bahagi sa. At nakakakuha kami ng isang formula para sa pagkalkula ng projection: Ang vector ay maaaring inaasahang sa iba't ibang mga anggulo, ngunit madalas (at default) sa ilalim ng projection ay nagpapahiwatig  tinukoy sa orthonormal na batayan :Cosine formula corner sa pagitan ng mga vectors sa coordinate sa eroplano

Kung ang eroplano ng vector

ay ibinigay sa orthonormal na batayan Ang vector ay maaaring inaasahang sa iba't ibang mga anggulo, ngunit madalas (at default) sa ilalim ng projection ay nagpapahiwatig

Desisyon , pagkatapos ay ang projection ng vector.

Sagot:

Kung Space Vectors.

Halimbawa 18.

Maghanap ng isang projection vector.

Sa isang linya: Ang projection ay ang haba, kaya tiyak naming ipahiwatig ang dimensyon. Ang haba, siyempre, ay kakaiba, sa kaso ng kahangalan ng anggulo sa pagitan ng mga vectors, ang "minus" sign ay idinagdag dito. Ang mga gawain ay kailangang hanapin hindi lamang ang projection ng vector sa vector, kundi pati na rin ang projection ng segment sa segment, ang segment upang idirekta, atbp. Ngunit, isang paraan o iba pa, ang mga vectors ay ginagamit sa desisyon! Halimbawa 19. Ang mga gawain ay kailangang hanapin hindi lamang ang projection ng vector sa vector, kundi pati na rin ang projection ng segment sa segment, ang segment upang idirekta, atbp. Ngunit, isang paraan o iba pa, ang mga vectors ay ginagamit sa desisyon! .

Ang tatsulok ay itinakda ng mga vertex nito

. Hanapin:

a) side projection. sa gilid

; b) side projection. Ito ay isang gawain para sa isang malayang solusyon. Solusyon at sagot sa dulo ng aralin.

sa gilid

Alamin natin ang geometriko na kahulugan ng mga coordinate ng mga vectors sa orthonormal na batayan: Vector projections sa coordinate axes. Cosine Guides Vector. Isaalang-alang ang vector plane tinukoy ng mga coordinate nito sa orthonormal na batayan . Para sa kaginhawahan, ipagpaliban ko ito mula sa simula ng mga coordinate: : Projection of vector. sa coordinate axis.

Ito ay eksaktong unang coordinate nito: Vector projections sa coordinate axes. (Pulang tampok). Tinutukoy ni. Anggulo sa pagitan ng vector tinukoy ng mga coordinate nito sa orthonormal na batayan . Para sa kaginhawahan, ipagpaliban ko ito mula sa simula ng mga coordinate: : at coordinate vector.

(Pulang arko). Pagkatapos: (Ang kahulugan ng cosine sa isang hugis-parihaba tatsulok ay nabanggit kamakailan). Katulad din sa pangalawang coordinate: vector projection. Ang dalawang coordinate nito: (prambuwesas trait). Tinutukoy ni. (Double raspberry arc). Pagkatapos:

Cosine Tinatawag na

Gabay cosinees. .

Vector. At para sa anumang di-zero vector, ang pagkakapantay-pantay ay totoo . Suriin ang katarungan nito para sa vector sa ilalim ng pagsasaalang-alang: Ano ang kinakailangan upang suriin. ,Tandaan na ang mga kalkulasyon sa itaas ay hindi magbabago kung ang vector Cosine formula corner sa pagitan ng mga vectors sa coordinates sa espasyoipagpaliban mula sa anumang ibang punto ng eroplano. Kaya, ang mga coordinate ng vector sa orthonormal base ay ang mga projection nito sa mga direksyon ng kani-kanilang mga vectors ng coordinate (coordinate axes) .

Gabay cosinees. nonzero vector. :

tinukoy sa orthonormal na batayan ;

Ang mga formula ay ipinahayag At ang mga coordinate ng vector ay maaaring ipahayag sa haba at data ng cosine:

, i.e: Bukod dito, Vector na may mga coordinate mula sa naaangkop na gabay sa cosine Collinearin orihinal na vector "ve" Ang haba niya ay katumbas ng isa (ang tinatawag na solong vector). : Paano makahanap ng isang anggulo ng tatsulokNa may spatial vectors na tinukoy sa orthonormal na batayan .

Disassembly eksakto ang parehong. Isaalang-alang ang isang arbitrary nonzerulic vector.

. Ang mga coordinate nito ay mga vector projection sa axis.

ayon sa pagkakabanggit. Ipahiwatig ang mga anggulo ng vector na ito sa ortes sa pamamagitan ng: . Pagkatapos Tuwid. . Pagkatapos .

Ang mga vector cosine guide ay ipinahayag ng mga formula , at ang patas ay pagkakapantay-pantay Sa mga praktikal na gawain, kadalasan ay kinakailangan upang mahanap ang gabay cosine ng vector, ang huling halimbawa ng aralin:

Halimbawa 20. Hanapin ang Gabay Cosine Vectors: и ngunit) .

Suriin iyon

Simpleng gawain para sa mga pagpapasya sa sarili. Sa katunayan, ito ay upang mahanap ang haba ng mga vectors at gawin ang mga pinaka-gabay cosine. Gayunpaman, huwag kalimutan na, kasama ang mga cosine ng gabay, awtomatiko kaming kilala para sa solong vectors na collinear vectors na "A" at "be". Sa pamamagitan ng paraan, ang praktikal na gawain ng paghahanap ng isang solong vector ay itinuturing na halimbawa. 5 aralin

Equation plane.

 Vector projection sa vector.

. Well, dito ang solusyon at ang sagot ay masyadong malapit.

Matapos pag-aralan ang araling ito, mayroon kang isang napaka-disenteng paghahanda para sa analytical geometry. Upang ang puzzle ay sa wakas pagbabasa

Linear (hindi) pag-asa ng vector. Batayan ng mga vectors

Vector at mixed artwork vectors.

Добавить комментарий